Question

若橢圓的中點在坐標原點，焦點在x軸上．過點(1，

1

2

)作圓x²+y²=1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓的面積為

2

5

π

．

Answer 1

分析：先假設(shè)切點，利用條件求得切點坐標，從而可得直線AB的方程，利用直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，可求橢圓的方程，進而可求橢圓的面積．

解答：解：設(shè)點(1，

1

2

)作圓x²+y²=1的切線的切點為（x₀，y₀）
過切點的半徑的斜率為

y0

x0

，切線的斜率為

y0- 1 2

x0-1

∴

y0

x0

×

y0- 1 2

x0-1

=-1
 整理得x₀+

1

2

y₀=x₀²+y₀²
∵x₀²+y₀²=1
∴x₀+

1

2

y₀=1
即y₀=-2x₀+2
代入圓的方程得x₀²+（-2x₀+2）²=1
∴5x₀²-8x₀+3=0
解得x₀=1或x₀=

3

5

∴y₀=0或y₀=

4

5

∴A（1，0），B（

3

5

，

4

5

）
由兩點式求得AB的方程為y=-2x+2
把橢圓上頂點坐標（0，b）代入直線方程得b=2，b²=4
把橢圓右焦點坐標（c，0）代入直線方程得c=1
∴a²=2²+1²=5
∴橢圓方程為

x2

5

+

y2

4

=1
∴橢圓的面積為 πab=π×

5

×2=2

5

π
故答案為：2

5

π

點評：本題重點考查圓與圓錐曲線的綜合，考查圓的切線方程，考查橢圓的標準方程，考查橢圓的面積計算，解題的關(guān)鍵是利用圓的切線，求得A，B的坐標．