Question

若橢圓的中點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上．過點(diǎn)作圓x²+y²=1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：先假設(shè)切點(diǎn)，利用條件求得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線AB的方程，利用直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，可求橢圓的方程，進(jìn)而可求橢圓的面積．
解答：解：設(shè)點(diǎn)作圓x²+y²=1的切線的切點(diǎn)為（x，y）
過切點(diǎn)的半徑的斜率為，切線的斜率為
∴
 整理得x+y=x²+y²
∵x²+y²=1
∴x+y=1
即y=-2x+2
代入圓的方程得x²+（-2x+2）²=1
∴5x²-8x+3=0
解得x=1或x=
∴y=0或y=
∴A（1，0），B（，）
由兩點(diǎn)式求得AB的方程為y=-2x+2
把橢圓上頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，b）代入直線方程得b=2，b²=4
把橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)（c，0）代入直線方程得c=1
∴a²=2²+1²=5
∴橢圓方程為
∴橢圓的面積為 =
故答案為：
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查圓與圓錐曲線的綜合，考查圓的切線方程，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用圓的切線，求得A，B的坐標(biāo)．