Question

12．已知f（x）=（x²+mx+m）e^-x
（1）當(dāng)m=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若m≤2，證明：當(dāng)x≥0時，f（x）≤2恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）的最大值，根據(jù)m的范圍判斷即可．

解答 解：（1）m=0時，f（x）=x²e^-x，
f′（x）=（2-x）xe^-x，
當(dāng)x＞2時，f′（x）＜0，
當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，
當(dāng)0≤x≤2時，f′（x）≥0，
當(dāng)x＜0時，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)0≤x≤2時，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x＞2時 f（x）為減函數(shù)．
（2）證明：f′（x）=-x[x-（2-m）]e^-x，
∵x≥0，m≤2，
令f′（x）＞0，解得：x＜2-m，
令f′（x）＜0，解得：x＞2-m，
故f（x）在[0，2-m）遞增，在（2-m，+∞）遞減，
故f（x）的最大值是f（2-m）=（4-m）e^m-2，
∵m≤2，∴4-m≥2，e^m-2≥1，
故f（x）≤2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．