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17.從橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)上一點P向x軸作垂線,垂足恰為右焦點F2,A是橢圓與x軸負半軸的交點,B是橢圓與y軸正半軸的交點,且AB∥OP,|F1A|=10-5,
(1)求此橢圓的方程.
(2)過右焦點F2作傾斜角為60°的直線交橢圓于M,N兩點,求△OMN的面積.

分析 (1)設(shè)出橢圓方程,求出AB,OP所在直線的斜率,由斜率相等得到b=c,再由,|F1A|=10-5得a-c=10-5,然后結(jié)合隱含條件求得a,b的值,則橢圓方程可求.
(2)利用點到直線的距離公式求出點O到直線的距離為d,弦長公式求出|MN|,則△OMN的面積s=12|MN•d.

解答 解:(1)∵AB∥OP,A(-a,0),B(0,b),P(c,2a),
∴kAB=kOP,即a=2ac,也就是b=c ①,又∵|F1A|=10-5得a-c=10-5②,且a2=b2+c2 ③.
聯(lián)立①②③可得:a=10,b=5
所以橢圓方程為x210+y25=1
(2)F25,0),直線方程為y=3(x-5),代入橢圓方程并整理得:7x2-125x+20=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2=207,x1+x2=1257,
點O到直線的距離為d=152
|MN|=1+3x1+x224x1x2=8107,∴△OMN的面積s=12|MN|•d=1067

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,及運算能力,屬于中檔題.

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