Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分別為CD、PB的中點．

(1)求證：EF⊥平面PAB；

(2)設(shè)AB＝BC，求AC與平面AEF所成的角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連結(jié)EP，∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD內(nèi)， 　　∴PD⊥DE．又CE＝ED， 　　PD＝AD＝BC， 　　∴Rt△BCE≌Rt△PDE， 　　∴PE＝BE． 　　∵F為PB中點， 　　∴EF⊥PB． 　　又∵AB⊥AD　PD⊥AB 　　∴AB⊥面PAD 　　∴AB⊥PA 　　∴在Rt△PAB中PF＝AF，又PE＝BE＝EA， 　　∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA． 　　∵PB、FA為平面PAB內(nèi)的相交直線， 　　∴EF⊥平面PAB． 　　(2)不妨設(shè)BC＝1，則AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，AC＝． 　　∴△PAB為等腰直角三角形，且PB＝2，F(xiàn)為其斜邊中點，BF＝1，且AF⊥PB． 　　∵PB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直， 　　∴PB⊥平面AEF． 　　連結(jié)BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，則GH⊥平面AEF． 　　∠GAH為AC與平面AEF所成的角． 　　由△EGC∽△BGA可知EG＝GB，EG＝EB，AG＝． 　　由△EGH∽△EBF可知GH＝． 　　∴sinGAH＝． 　　∴AC與平面AEF所成的角為arcsin．