Question

16．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x₁＜x₂，有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞-1，且f（1）=1，則不等式f（log₂|3^x-1|）＜2-log₂|3^x-1|的解集為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，1）
• C． （-1，0）∪（0，3）
• D． （-∞，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)R（x）=f（x）+x是R上的增函數(shù)，f（log₂|3^x-1|）+log₂|3^x-1|＜f（1）+1，可得-2＜3^x-1＜2，且3^x-1≠0，由此求得x的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x₁＜x₂，有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞-1，即 $\frac{[f{（x}_{1}）{+x}_{1}]-[f{（x}_{2}）{+x}_{2}]}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞0，
故函數(shù)R（x）=f（x）+x是R上的增函數(shù)，
由不等式f（log₂|3^x-1|）＜2-log₂|3^x-1|，可得f（log₂|3^x-1|）+log₂|3^x-1|＜2=f（1）+1，
∴l(xiāng)og₂|3^x-1|＜1，故-2＜3^x-1＜2，且3^x-1≠0，求得3^x＜3，且x≠0，
解得 x＜1，且x≠0，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，判斷函數(shù)R（x）=f（x）+x是R上的增函數(shù)，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．