Question

7．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍．若拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，則拋物線C₂的方程為x²=16y．

Answer 1

分析 利用雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，推出a，b的關(guān)系，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)點(diǎn)到直線的距離求出p，即可得到拋物線的方程．

解答 解：∵雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，
∴c=2a，即$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=4，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=3，
雙曲線的一條漸近線方程為：bx-ay=0．
拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)（0，$\frac{p}{2}$）到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，
∴2=$\frac{|\frac{ap}{2}|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$，
∵$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=3，∴p=8．
∴拋物線C₂的方程為x²=16y．
故答案為：x²=16y．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查計(jì)算能力．