Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-2{a}_{n}+2}$+1（n∈N^*），則使不等式a₂₀₁₆＞2016成立的所有正整數(shù)a₁的集合為（　�。�

• A． {a₁|a₁≥2016，a₁∈N^*}
• B． {a₁|a₁≥2015，a₁∈N^*}
• C． {a₁|a₁≥2014，a₁∈N^*}
• D． {a₁|a₁≥2013，a₁∈N^*}

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)構(gòu)造可得{（a_n-1）²}是以（a₁-1）²為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，從而可得（a_n-1）²=（a₁-1）²+n-1，從而代入求解即可．

解答 解：∵a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-2{a}_{n}+2}$+1，
∴a_n+1-1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-2{a}_{n}+2}$，
∴（a_n+1-1）²=（a_n-1）²+1，
∴{（a_n-1）²}是以（a₁-1）²為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴（a_n-1）²=（a₁-1）²+n-1，
∴（a₂₀₁₆-1）²=（a₁-1）²+2015，
∴（a₁-1）²=（a₂₀₁₆-1）²-2015＞2015×2014，
又∵a₁為正整數(shù)，
∴a₁-1＞$\sqrt{2015×2014}$，
∴a₁≥2016，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷及整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法的應(yīng)用．