Question

17．2016年高考報(bào)名體檢中，某市共有40000名男生參加體檢，體檢其中一項(xiàng)為測量身高，統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示所有男生的身高服從正態(tài)分布N（170，16）．統(tǒng)計(jì)人員從市一中高三的參加體檢的男生中隨機(jī)抽取了50名進(jìn)行身高測量，所得數(shù)據(jù)全部介于162cm和186cm之間，并將測量數(shù)據(jù)分成6組：第一組[162，166），第二組[166，170），…，第六組[182，186），然后按上述分組方式繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）試評估市一中高三年級參加體檢的男生在全市高三年級參加體驗(yàn)的男生中的平均身高狀況（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中間值作代表）；
（2）在這50名參加體檢的男生身高在178cm以上（含178cm）的人中任意抽取3人，將該3人中身高排名（從高到低）在全市參加體檢的高三男生身高前52名的人數(shù)記為X，求X的數(shù)學(xué)期望．
若X-N（μ，δ²），則P（μ-δ＜X≤μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜X≤μ+2δ））=0.9544，P（μ-3δ＜X≤μ+3δ）=0.9974．

Answer 1

分析 高三男生的平均身高用組中值×頻率，即可得到結(jié)論；
先根據(jù)正態(tài)分布的規(guī)律求出全市前52名的身高在182cm以上的50人中的人數(shù)，確定X的可能取值，求出其概率，即可得到X的分布列與期望．

解答 解：由直方圖，經(jīng)過計(jì)算該校高三年級男生平均身高為：
164×0.05×4+168×0.07×4+17×0.08×4+176×0.02×4+18×0.02×4+184×0.01×4=170.72，
高于全市平均身高170，
（2）由男生身高在178cm以上（含178cm）的人中總共有0.12×5=6人，
∵P（170-3×4＜X≤170+3×4）=0.9974．
∴P（X≥182）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013，
全省高中男生身高排名（從高到低） 前52名中最低身高是182 cm；
全省前52名的身高在182cm以上，這50人中182cm以上的有2人．
隨機(jī)變量X可取0，1，2，于是：
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=0.2，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=0.6，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=0.2；
E（X）=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1．

點(diǎn)評 此題主要考查了正態(tài)分布，考查隨機(jī)變量的定義及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正確理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，由頻數(shù)分布直方圖可以得到什么結(jié)論是學(xué)習(xí)中需要掌握的關(guān)鍵．