Question

7．在矩形ABCD中，以DA所在直線(xiàn)為x軸，以DA中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2），E、F為AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，AC和BF交于點(diǎn)G，△BEG的外接圓為⊙H．
（1）求證：EG⊥BF；
（2）求⊙H的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知A，B，C，F(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AC和BF的直線(xiàn)方程，聯(lián)立求得焦點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而求得EG，BF的斜率，根據(jù)二者的乘積為-1判斷出EG⊥BF；
（2）求得圓心和半徑，進(jìn)而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 （1）證明：由題意，A（3，0），B（3，2），C（-3，2），F(xiàn)（-1，0）．
所以直線(xiàn)AC和直線(xiàn)BF的方程分別為：x+3y-3=0，x-2y+1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{5}$，y=$\frac{4}{5}$，
所以G點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
所以k_EG=-2，K_BF=$\frac{1}{2}$，
因?yàn)閗_EG•k_BF=-1，所以EG⊥BF，
（2）解：⊙H的圓心為BE中點(diǎn)H（2，1），
半徑為BH=$\sqrt{2}$，
所以⊙H方程為（x-2）²+（y-1）²=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．