Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=aqⁿ+b（a≠0，q≠0，1），求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件是a+b=0．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：充分性：當a+b=0時，a₁=S₁=a（q-1）．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．當n=1時也成立．于是數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；必要性：當n=1時，a₁=S₁=a（q-1）．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．由p≠0，p≠1．知∴

an+1

an

=

an+1

an

=

aqn(q-1)

aqn-1(q-1)

=q故a+b=0．由此得到a+b=0是數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件．

解答： 證明：充分性：當a+b=0時，a₁=S₁=aq+b=a（q-1）．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．
當n=1時也成立．
于是

an+1

an

=

aqn(q-1)

aqn-1(q-1)

=q（n∈N₊），
即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
必要性：當n=1時，a₁=S₁=aq+b．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．
∵q≠0，q≠1．
∴

an+1

an

=

an+1

an

=

aqn(q-1)

aqn-1(q-1)

=q（n∈N₊），
∵{a_n}為等比數(shù)列，
∴

a2

a1

=

an+1

an

=q，

aq2-aq

aq+b

=q，
即aq-a=aq+b．∴a+b=0．
綜上所述，a+b=0是數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件．

點評：題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和應用，考查充要條件的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．