Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax-3（a≠0）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對任意的a∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+[

b

2

-f′（x）]x²在區(qū)間（a，3）上有最值，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)的最值，根據(jù)最值恒成立，利用參數(shù)分離法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（I）由題意，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

1-ax

x

．
當a＜0時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當a＞0時，由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

a

，此時函數(shù)單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0，得（

1

a

，+∞），
綜上，當a＜0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當a＞0時，函數(shù)f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞增，在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減．
（II）由（I）得，f′（x）=

1-ax

x

．
∴g（x）=x³+[

b

2

-f′（x）]x²=x³+（

b

2

+a）x²-x，
∴g′（x）=3x²+（b+2a）x-，
∵g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，
∴g′（x）在區(qū)間（a，3）上有零點．
而g′（0）=-1＜0，∴

g′(a)＜0 g′(3)＞0

對任意的a∈[1，2]恒成立，
即3a²+（b+2a）a-1＜0 ①，26+3（b+2a）＞0，②對任意的a∈[1，2]，恒成立．
由①得，b＜

1

a

-5a，∵

1

a

-5a的最小值為

1

2

-10=-

19

2

，∴b＜-

19

2

由②得，b＞-2a-

26

3

，
∵-2a-

26

3

的最大值為-2-

26

3

=-

32

3

，∴b＞-

32

3

，
綜上-

32

3

＜b＜-

19

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，最值和單調(diào)性之間的關(guān)系，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，運算量較大，綜合性較強．