Question

11．如圖，已知A₁A⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，AB=AC=3，BC=2$\sqrt{5}$，AA₁=$\sqrt{7}$，BB₁=2$\sqrt{7}$，點E和F分別為BC和A₁C的中點．
（1）求證：EF∥平面A₁B₁BA；
（2）求證：平面AEA₁⊥平面BCB₁；
（3）求幾何體ABCA₁B₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁B，根據(jù)中位線定理可得EF∥A₁B，故而有EF∥平面A₁B₁BA；
（2）由A₁A⊥平面ABC，BB₁∥AA₁可得B₁B⊥平面ABC，故B₁B⊥AE，由等腰三角形三線合一可得BC⊥AE，于是AE⊥平面B₁BC，從而得出平面AEA₁⊥平面BCB₁；
（3）將幾何體分解成兩個小三棱錐A₁-B₁BC和A₁-ABC求體積．

解答 證明：（1）連結(jié)A₁B，在△A₁BC中，
∵點E和F分別為BC和A₁C的中點，
∴EF∥A₁B，∵EF?平面平面A₁B₁BA，A₁B?平面A₁B₁BA，
∴EF∥平面A₁B₁BA．
（2）∵AB=AC，E為BC的中點，∴AE⊥BC．
∵A₁A⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，
∴B₁B⊥平面ABC，∵AE?平面ABC，
∴B₁B⊥AE．又∵B₁B?平面B₁BC，BC?平面B₁BC，B₁B∩BC=B，
∴AE⊥平面B₁BC，∵AE?平面AEA₁，
∴平面AEA₁⊥平面BCB₁．
（3）∵AC=3，CE=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{5}$，∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=2．
∴三棱錐A₁-B₁BC的體積V₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×{B}_{1}B×AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{7}×2$=$\frac{4\sqrt{35}}{3}$．
三棱錐A₁-ABC的體積V₂=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×AE×\sqrt{7}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2×\sqrt{7}$=$\frac{2\sqrt{35}}{3}$．
∴幾何體ABCA₁B₁的體積V=V₁+V₂=$\frac{4\sqrt{35}}{3}$+$\frac{2\sqrt{35}}{3}$=2$\sqrt{35}$．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)，線面平行，面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．