Question

1．已知x，y都是銳角，且tanx=3tany，證明：x-y≤$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 先用兩角差的正切公式，求一下tan（x-y）的值，然后再由已知代換，利用均值不等式求得tan（x-y）的最大值，從而得到結果．

解答 證明：因為x，y都是銳角，x-y∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanx=3tany，
所以tan（x-y）=$\frac{tanx-tany}{1+tanxtany}$=$\frac{2tany}{1+3ta{n}^{2}y}$
=$\frac{2}{\frac{1}{tany}+3tany}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{1}{tany}•3tany}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=tan$\frac{π}{6}$，當且僅當3tan²y=1時取等號，
∴x-y≤$\frac{π}{6}$．

點評 本題是中檔題，考查兩角和與差的正切函數(shù)的應用，基本不等式的應用，注意角的范圍，考查計算能力．