Question

(本小題滿分14分)

已知函數．

（1）討論函數的單調性；

（2）當為偶數時，正項數列滿足，求的通項公式；

（3）當為奇數且時，求證：．

Answer 1

解：(1)由已知得，x＞0且．

當k是奇數時,則,則f(x)在(0,+)上是增函數;

當k是偶數時,則,,　

所以當x(0,1)時,, 當x(1,+)時,，

故當k是偶數時,f(x)在(0,1)是減函數,在(1,+)是增函數．

(2)由已知得 ．

所以{}是以2為首項,2為公比的等比數列,故．

(3) 由已知得，

所以左邊==，

令S=．

由倒序相加及組合數的性質得:

2S=

．       所以 ．

所以, 成立．