Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=2a_n-1，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且 b₁=a₁，b₆=a₅
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若C_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng) 和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)；
（2）求出C_n=a_nb_n=（3n-2）•2^n-1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-1，①
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-1，②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
n=1得a₁=S₁=2a₁-1，即有a₁=1，
n=2時(shí)，a₁+a₂=2a₂-1，可得a₂=2，
則a_n=a₂•2^n-2=2^n-1，對(duì)n=1也成立，
則a_n=2^n-1，n∈N*；
數(shù)列{b_n}為公差為d的等差數(shù)列，且 b₁=a₁，b₆=a₅，
可得b₁=1，b₆=b₁+5d=16，
可得d=3，
則b_n=b₁+（n-1）d=3n-2，n∈N*；
（2）C_n=a_nb_n=（3n-2）•2^n-1，
T_n=1×2⁰+4×2+7×2²+…+（3n-2）•2^n-1，
2T_n=1×2+4×2²+7×2³+…+（3n-2）•2ⁿ，
兩式相減可得，-T_n=1+3×（2+2²+…+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ
=1+3×$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-2）•2ⁿ，
化簡(jiǎn)可得T_n=5+（3n-5）•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用遞推式及等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．