Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ln（2-x）}{\sqrt{x-1}}$的定義域為A，不等式（x-1）²＜log_ax在x∈A時恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（1，2]．

Answer 1

分析 求出A，設g（x）=（x-1）²，h（x）=log_ax，要使不等式（x-1）²＜log_ax在x∈（1，2）時恒成立，只需g（x）的圖象在h（x）的圖象下方即可，①當0＜a＜1時，顯然不成立，
②當a＞1時，如圖所示，只需g（2）≤h（2），即（2-1）²≤log_a2，解得1＜a≤2．即可求出實數(shù)a的取值范圍

解答 解：由x-1＞0，2-x＞0，可得函數(shù)f（x）=$\frac{ln（2-x）}{\sqrt{x-1}}$的定義域為A=（1，2）．
設g（x）=（x-1）²，h（x）=log_ax，
要使不等式（x-1）²＜log_ax在x∈（1，2）時恒成立，只需g（x）的圖象在h（x）的圖象下方即可，
①當0＜a＜1時，顯然不成立，
②當a＞1時，如圖所示，只需g（2）≤h（2），即（2-1）²≤log_a2，解得1＜a≤2．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（1，2]．
故答案為：（1，2]．

點評 本題考查了恒成立問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．