Question

4．一個玩具盤由一個直徑為2米的半圓O和一個矩形ABCD構(gòu)成，AB=1米，如圖所示．小球從A點(diǎn)出發(fā)以5v的速度沿半圓O軌道滾到某點(diǎn)E處后，經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點(diǎn)E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi)，落點(diǎn)記為F．設(shè)∠AOE=θ弧度，小球從A到F所需時間為T．
（1）試將T表示為θ的函數(shù)T（θ），并寫出定義域；
（2）求時間T最短時cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）通過過點(diǎn)O作OG⊥BC于G，利用OG=1、$OF=\frac{OG}{sinθ}=\frac{1}{sinθ}$、$EF=1+\frac{1}{sinθ}$、弧AE=θ及時間、路程與速度之間的關(guān)系即得結(jié)論；
（2）通過（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性即得結(jié)論．

解答 解：（1）過O作OG⊥BC于G，則OG=1，$OF=\frac{OG}{sinθ}=\frac{1}{sinθ}$，$EF=1+\frac{1}{sinθ}$，
弧AE=θ，
所以$T（θ）=\frac{弧AE}{5v}+\frac{EF}{6v}=\frac{θ}{5v}+\frac{1}{6vsinθ}+\frac{1}{6v}$，$θ∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$．…（7分）
（2）$T（θ）=\frac{θ}{5v}+\frac{1}{6vsinθ}+\frac{1}{6v}$，$T'（θ）=\frac{1}{5v}-\frac{cosθ}{{6v{{sin}^2}θ}}=\frac{{6{{sin}^2}θ-5cosθ}}{{30v{{sin}^2}θ}}=-\frac{（2cosθ+3）（3cosθ-2）}{{30v{{sin}^2}θ}}$，…（10分）
記$cos{θ_0}=\frac{2}{3}$，${θ_0}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，

θ	$（\frac{π}{4}，{θ_0}）$	θ0	$（{θ_0}，\frac{3π}{4}）$
T'（θ）	-	0	+
T（θ）	減		增

故當(dāng)$cosθ=\frac{2}{3}$時，時間T最短．                                   …（16分）

點(diǎn)評 本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．