Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+2，x∈[-5，5]．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，判斷對稱軸在已知的區(qū)間內(nèi)，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）討論對稱軸的位置，然后求解函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）表達(dá)式．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=-(x-

a

2

)2+

a2

4

+2，其對稱軸為x=

a

2

．（2分）
∵函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，
∴-5＜

a

2

＜5，（5分）
（說明：本步若取等號，扣1分）
∴-10＜a＜10，
∴實數(shù)a的取值范圍為（-10，10）．（6分）
（Ⅱ）①當(dāng)

a

2

≤0，即a≤0時，（7分）
∴f（x）_min=f（5）=-25+5a+2=5a-23，即g（a）=5a-23．（9分）
②當(dāng)

a

2

＞0，即a＞0時，（10分）f（x）_min=f（-5）=-25-5a+2=-5a-23，即g（a）=-5a-23．（12分）
綜上所述，g(a)=

5a-23，a≤0 -5a-23，a＞0

．（14分）

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求法，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力以及分類討論思想的應(yīng)用．