【題目】已知函數,當時,的極大值為;當時,有極小值。求:
(1)的值;
(2)函數的極小值。
【答案】(1)a =-3,b =-9,c=2
(2)-25
【解析】
利用函數f(x)在x=x0取得極值的充要條件f′(x0)=0且f′(x)在x=x0的左右附近符號相反即可得出a,b的值,再利用極大值即可得到c,從而得出答案.
(1)∵f(x) = x3+ ax2+bx + c ,∴f′ (x) = 3x2+2ax +b
∵當x =- 1 時函數取得極大值7,當x = 3時取得極小值
∴x =- 1 和x = 3是方程f′ (x)=0的兩根,有
∴, ∴f(x) = x3-3x2-9x+c.
(2)∵當x = -1時,函數取極大值7,∴(-1)3–3(-1)2–9(-1)+c= 7,∴c=2.
此時函數f(x)的極小值為:f(3)= 33-3×32-9×3×2=-25.
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【題目】已知函數f(x)=,g(x)=(a>0,且a≠1).
(1)求函數φ(x)=f(x)+g(x)的定義域;
(2)試確定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范圍.
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【題目】某校從高一年級參加期末考試的學生中抽出60名,其成績(均為整數)的頻率分布直方圖如圖所示,由此估計此次考試成績的中位數、眾數分別是( )
A.73.3,75B.73.3,80
C.70,70D.70, 75
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【題目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據(單位:小時)
(1)應收集多少位女生樣本數據?
(2)根據這300個樣本數據,得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數據分組區(qū)間為:.估計該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率.
(3)在樣本數據中,有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”.
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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【題目】已知拋物線: 的焦點為,過的直線交拋物線于點,當直線的傾斜角是時, 的中垂線交軸于點.
(1)求的值;
(2)以為直徑的圓交軸于點,記劣弧的長度為,當直線繞點旋轉時,求的最大值.
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【題目】從某企業(yè)生產的某種產品中抽取100件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量表得如下頻數分布表:
質量指標值分組 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
頻數 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(I)在答題卡上作出這些數據的頻率分布直方圖:
(II)估計這種產品質量指標值的平均數及方差(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表);
(III)根據以上抽樣調查數據,能否認為該企業(yè)生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規(guī)定?
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【題目】某大型超市在2018年元旦舉辦了一次抽獎活動,抽獎箱里放有2個紅球,1個黃球和1個藍球(這些小球除顏色外大小形狀完全相同),從中隨機一次性取2個小球,每位顧客每次抽完獎后將球放回抽獎箱.活動另附說明如下:
①凡購物滿100(含100)元者,憑購物打印憑條可獲得一次抽獎機會;
②凡購物滿188(含188)元者,憑購物打印憑條可獲得兩次抽獎機會;
③若取得的2個小球都是紅球,則該顧客中得一等獎,獎金是一個10元的紅包;
④若取得的2個小球都不是紅球,則該顧客中得二等獎,獎金是一個5元的紅包;
⑤若取得的2個小球只有1個紅球,則該顧客中得三等獎,獎金是一個2元的紅包.
抽獎活動的組織者記錄了該超市前20位顧客的購物消費數據(單位:元),繪制得到如圖所示的莖葉圖.
(1)求這20位顧客中獲得抽獎機會的人數與抽獎總次數(假定每位獲得抽獎機會的顧客都會去抽獎);
(2)求這20位顧客中獎得抽獎機會的顧客的購物消費數據的中位數與平均數(結果精確到整數部分);
(3)分別求在一次抽獎中獲得紅包獎金10元,5元,2元的概率.
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