Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{a}{x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，其中a∈R，x=5是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）求出曲線(xiàn)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得f′（5）=0，可求出a的值；
（2）根據(jù)（1）可得函數(shù)的解析式和導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∴f′（5）=0，
解得：a=$\frac{5}{4}$．
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{5}{4x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4x-5}{{4x}^{2}}$（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=-1（舍），
∵當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（5，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（5，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為（0，5）；
當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取極小值-ln5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．