Question

7．已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為2$\sqrt{3}$的正三角形，PA⊥平面ABC，若三棱錐P-ABC的體積為2$\sqrt{3}$，則球O的表面積為20π．

Answer 1

分析 由三棱錐P-ABC的體積為2$\sqrt{3}$，求出PA，將三棱錐補成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距離d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半徑，然后求出球的表面積．

解答 解：∵三棱錐P-ABC的體積為2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}PA$=2$\sqrt{3}$，
∴PA=2，
將三棱錐補成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，
球心到底面的距離d等于三棱柱的高PA的一半，
∵△ABC是邊長為2$\sqrt{3}$的正三角形，
∴△ABC外接圓的半徑r=2，
∴球的半徑為$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴球O的表面積為4π×5=20π．
故答案為：20π

點評 本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．