Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax³+（a+2）x²-1（x∈R）為偶函數(shù)，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的方程為8x-y-9=0．

Answer 1

分析 由偶函數(shù)的概念列式求得a值，求出導(dǎo)函數(shù)，得到f′（2）的值，再求出f（2），利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax³+（a+2）x²-1（x∈R）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即-ax³+（a+2）x²-1=ax³+（a+2）x²-1，
∴2ax³=0，則a=0．
∴f（x）=2x²-1．
則f′（x）=4x，
∴f′（2）=8，又f（2）=7．
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的方程為y-7=8（x-2）．
即8x-y-9=0．
故答案為：8x-y-9=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．