Question

9．已知定義域為R的函數f（x），對任意的x∈R，均有f（x+1）=f（x-1），且x∈（-1，1]時，有f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2，x∈[{0，1}]}\\{2-{x^2}，x∈（{-1，0}）}\end{array}}$，則方程f（f（x））=3在區(qū)間[-3，3]上的所有實根之和為3．

Answer 1

分析 計算f（x）的周期，做出f（x）的函數圖象，根據函數圖象判斷f（x）=3，從而得出x的值．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），∴f（x）是以2為周期的函數．
做出f（x）的函數圖象如圖所示：

∵f（f（x））=3，∴f（x）=1+2k，k∈Z．
∵1＜f（x）≤3，
∴f（x）=3，
∵x∈[-3，3]，
∴x=-1或x=1或x=3．
f（f（x））=3在[-3，3]內的所有跟之和為（-1）+1+3=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了函數零點的判斷，周期函數的應用，屬于中檔題．