Question

3．已知圓C：x²+y²-2x+2y-4=0與斜率為1的直線l相交于不同的兩點A、B．
（1）求直線l在y軸上的截距b的取值范圍；
（2）是否存在直線l，使得以弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）圓與直線斜率為1相交于不同的兩點A、B，設(shè)直線方程為y=x+b，聯(lián)立方程組，消去y，△＞0可得b的取值范圍
（2）弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點，那么OA⊥OB，利用韋達定理和斜率關(guān)系求解．

解答 解：（1）圓與直線斜率為1相交于不同的兩點A、B，設(shè)直線方程為y=x+b，
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y-4=0}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，消去y，可得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0
∵相交于不同的兩點A、B，
∴△＞0，即4（b+1）²-8（b²+4b-4）＞0，
解得：$-3-3\sqrt{2}＜b＜-3+3\sqrt{2}$．
直線l在y軸上的截距b的取值范圍是（$-3-3\sqrt{2}$，$-3+3\sqrt{2}$）．
（2）由題意：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
那么：x₁+x₂=-（b+1），${x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}+4b-4}{2}$
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=${x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+^{2}$=$\frac{^{2}+2b-4}{2}$
假設(shè)存在直線l，使得以弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點，那么OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0
∴$\frac{^{2}+2b-4}{2}$+$\frac{^{2}+4b-4}{2}$=0
解得：b=1或b=-4
又∵$-3-3\sqrt{2}＜b＜-3+3\sqrt{2}$．
所以存在直線l：x-y+1=0或x-y-4=0滿足題意．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的運用能力，考查了韋達定理和斜率的運用．屬于中檔題．