Question

已知f（x）=

x2+x，x≥0 -x2+x，x＜0

，則不等式f（x²-x+1）＜12解集是

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由題意可得函數f（x）為奇函數，函數f（x）在R上是增函數．令x²+x=12，求得x=3或x=-4（舍去）．故由不等式f（x²-x+1）＜12，可得 x²-x+1＜3，由此求得x的范圍．

解答： 解：∵f（x）=

x2+x，x≥0 -x2+x，x＜0

，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
∴函數f（x）為奇函數，
再根據二次函數的圖象和性質可得：
f（x）在（0，+∞）上是增函數，f（0）=0，可得函數f（x）在R上是增函數．
令x²+x=12，求得x=3 或x=-4（舍去）．
∴由不等式f（x²-x+1）＜12，可得 x²-x+1＜3，
即 （x+1）（x-2）＜0，
解得-1＜x＜2，
故答案為：（-1，2）．

點評：本題主要考查分段函數的應用，考查函數的單調性和奇偶性的應用，屬于基礎題．