Question

點(diǎn)P（x，y）在不等式組

x≥0 x+y≤3 y≥x+1

表示的平面區(qū)域內(nèi)，若點(diǎn)P（x，y）到直線y=kx-1的最大距離為2

2

，則k為（　　）

• A、-1
• B、-1或1
• C、-1或2
• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出題中不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，而直線y=kx-1經(jīng)過定點(diǎn)（0，-1），由此觀察圖形得到平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)C（0，3）到直線y=kx-1的距離最大．最后根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式建立關(guān)于k的方程，即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，其中A（0，1），C（0，3），B（1，2）
∵直線y=kx-1經(jīng)過定點(diǎn)（0，-1），
∴△ABC必定在直線y=kx-1的上方時(shí)，
若k=0，則C到直線y=kx-1的距離最大，此時(shí)為4，不滿足條件．
若k＞0，則由圖象可知點(diǎn)C（0，3）到直線y=kx-1的距離最大，
將直線y=kx-1化成一般式，得kx-y-1=0
因此點(diǎn)P（x，y）到直線y=kx-1的距離d=

|-1-1|

1+k2

=

2

1+k2

=2

2

，
解得k=1，
若-1≤k＜0，則由圖象可知點(diǎn)B（1，2）到直線y=kx-1的距離最大，
因此點(diǎn)P（x，y）到直線kx-y-1=0的距離d=

|k-1-2|

1+k2

=2

2

，
平方得7k²+6k-1=0，解得k=-1或k=

1

7

（舍），
若k＜-1，由圖象可知點(diǎn)C（0，3）到直線y=kx-1的距離最大，
因此點(diǎn)P（x，y）到直線y=kx-1的距離d=

|-1-1|

1+k2

=

2

1+k2

=2

2

，
解得k=1（舍）或k=-1（舍），
綜上k=1或k=-1
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及點(diǎn)到直線的距離公式的求解，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．