Question

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（1）函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a＞0）（x＞0）；
（2）函數(shù)y=

x2+x-6

．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過討論x的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令u=x²+x-6，y=

x2+x-6

可以看作有y=

u

與u=x²+x-6的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，求出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）設(shè)x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）
=x₁+

a

x1

-（x₂+

a

x2

）
=（x₁-x₂）+

a(x2-x1)

x1x2

=（x₁-x₂）•

x1x2-a

x1x2

當(dāng)0＜x₁＜x₂＜

a

時，x₁x₂＜a，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0．
在（0，

a

）上，f（x）是減函數(shù)．
當(dāng)

a

＜x₁＜x₂時，x₁x₂＞a，f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（

a

，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）=x+

a

x

（a＞0）的增區(qū)間為（

a

，+∞），減區(qū)間為（0，

a

）．
（2）令u=x²+x-6，y=

x2+x-6

可以看作有y=

u

與u=x²+x-6的復(fù)合函數(shù)．
由u=x²+x-6≥0，得x≤-3或x≥2．
∵u=x²+x-6在（-∞，-3]上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)，
而y=

u

在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴y=

x2+x-6

的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-3]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的方法，本題屬于中檔題．