Question

8．在△ABC中，A為銳角，|AB|=|AC|+6，|AB|•|AC|=64，且S_△ABC=16$\sqrt{3}$，求以B，C為焦點，且過點A的雙曲線的方程．

Answer 1

分析 利用三角形的面積公式，求出sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得cosA=$\frac{1}{2}$，利用余弦定理求出|BC|，再建立坐標系，即可求以B，C為焦點，且過點A的雙曲線的方程．

解答 解：在△ABC中，∵|AB|•|AC|=64，且S_△ABC=16$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×64×sinA$=16$\sqrt{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A為銳角，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
設|AC|=x，|AB|=x+6，∴|BC|=$\sqrt{{x}^{2}+（x+6）^{2}-2x•（x+6）•\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x（x+6）+36}$=10，
∴以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立坐標系，可得a=3，c=5，
∴b=4．
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

點評 本題考查雙曲線的定義與方程，考查正弦、余弦定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．