Question

17．如圖，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C-DE-A的正弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面CDE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，由F，G分別為DC，BC中點(diǎn)，知FG∥BD且FG=$\frac{1}{2}$BD，又AE∥BD且AE=$\frac{1}{2}$BD，故AE∥FG且AE=FG，由此能夠證明EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O和DE的中點(diǎn)H，分別以O(shè)C、OB、OH所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），求出面CDE的法向量，面ABDE的法向量，由此能求出二面角C-DE-A的正弦值．
（Ⅲ）利用向量法能求出點(diǎn)A到平面CDE的距離．

解答 解：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，
∵F，G分別為DC，BC中點(diǎn)，
∴FG∥BD且FG=$\frac{1}{2}$BD，又AE∥BD且AE=$\frac{1}{2}$BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四邊形EFGA為平行四邊形，則EF∥AG，
∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴BD⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵G為 BC中點(diǎn)，且AC=AB，
∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．（4分）
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O和DE的中點(diǎn)H，
分別以O(shè)C、OB、OH所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{ED}$=（0，2，1）．
設(shè)面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），（6分）
取面ABDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），（7分）
由cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
故二面角C-DE-A的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），$\overrightarrow{AE}$=（0，0，1），
則點(diǎn)A到平面CDE的距離d=$\frac{2}{\sqrt{3+1+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查面面角，考查向量方法的運(yùn)用，屬于中檔題．