Question

【題目】已知函數(shù)(其中為常數(shù)，).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立？如果存在，求的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，).

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 當(dāng)時(shí)， 的增區(qū)間為和.

當(dāng)a>0時(shí)，增區(qū)間為和，減區(qū)間為和

（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）

①當(dāng)時(shí)，恒成立，

于是的增區(qū)間為和.

②當(dāng)時(shí)，由,得或.列表得

	＋	0	－	－	0	＋
	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

于是增區(qū)間為和，

減區(qū)間為和

綜上可得, 當(dāng)時(shí)， 的增區(qū)間為和.

當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為和，減區(qū)間為和

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于

因?yàn)?/span>,所以在上遞增.

所以

由（Ⅰ）知

①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

故時(shí),成立.

②當(dāng)，

當(dāng)時(shí)，，

故時(shí),成立.

當(dāng)時(shí)，

,得又,

故時(shí),成立.

③當(dāng)，即時(shí),

,得與矛盾.

綜上所述，存在實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)于任意時(shí)，不等式恒成立.

(轉(zhuǎn)化為恒成立后,用分離參數(shù)法求解,比照給分)