Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+lnx-kx（k＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在（0，

π

2

]上單調(diào)遞增，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=sinx（x＞0），若y=g（x）的圖象在y=f（x）的圖象上方，求k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)n∈N₊，證明：

1

π

（4-

1

2n-1

）＜

n+1

i=1

sin（

1

2

）^i-1＜

( 3 -1)(n+1)

2

+1+

n(n+1)

2

ln2-（

1

2

）ⁿ⁺¹．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式

分析：（Ⅰ） 由題意，f′（x）=cosx+

1

x

-k≥0，則k≤cosx+

1

x

，（cosx+

1

x

）_min即可；
（Ⅱ） 由題意得x＞0時，g（x）＞f（x）恒成立，化為lnx-kx＜0（x＞0）恒成立，h（x）=lnx-kx，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可；
（Ⅲ）顯然sinx＞

2

π

x（0＜x＜

π

2

），則

n+1

i=1

sin（

1

2

）^i-1＞

2

π

[1+（

1

2

）+（

1

2

）²+…+（

1

2

）ⁿ]；再證明sinx＜

3 -1

2

+

1

2

x-lnx（0＜x≤1）成立，從而得證．

解答： 解：（Ⅰ） 由題意，f′（x）=cosx+

1

x

-k≥0，則k≤cosx+

1

x

，
而cosx+

1

x

在（0，

π

2

]上單調(diào)遞減，求
則（cosx+

1

x

）_min=cos

π

2

+

2

π

=

2

π

，則k∈（0，

2

π

]；
（Ⅱ） 由題意得x＞0時，g（x）＞f（x）恒成立，
則lnx-kx＜0（x＞0）恒成立，
令h（x）=lnx-kx，h′（x）=

1

x

-k，
x∈（0，

1

k

）時，h′（x）＞0，
x∈（

1

k

，+∞）時，h′（x）＜0，
則h_max（x）=h（

1

k

）=ln

1

k

-1＜0，
則k＞

1

e

．
（Ⅲ）證明：如圖，顯然sinx＞

2

π

x（0＜x＜

π

2

），
則

n+1

i=1

sin（

1

2

）^i-1＞

2

π

[1+（

1

2

）+（

1

2

）²+…+（

1

2

）ⁿ]
=

1

π

（4-

1

2n-1

）；
由0＜（

1

2

）^i-1≤1，
由（Ⅰ）知，k=

1

2

時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增．
當(dāng)0＜x≤1時，有sinx+lnx-

1

2

x≤sin1-

1

2

＜

3 -1

2

，
則sinx＜

3 -1

2

+

1

2

x-lnx（0＜x≤1）成立，

n+1

i=1

sin（

1

2

）^i-1＜

3 -1

2

（n+1）+

1

2

[1+（

1

2

）+（

1

2

）²+…+（

1

2

）ⁿ]-ln（

1

2

）^1+2+…+n
=

( 3 -1)(n+1)

2

+1+

n(n+1)

2

ln2-（

1

2

）ⁿ⁺¹．
即

1

π

（4-

1

2n-1

）＜

n+1

i=1

sin（

1

2

）^i-1＜

( 3 -1)(n+1)

2

+1+

n(n+1)

2

ln2-（

1

2

）ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題化成最值問題的處理方法，同時考查了放縮法證明不等式的變形應(yīng)用，屬于難題．