Question

定義在R上的可導函數(shù)f（x）滿足f（x+2）-f（x）=2f（1），y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，且當x∈[2，4]時，f（x）=x²+2xf′（2），則f（-

1

2

）與f（

16

3

）的大小關(guān)系是（　�。�

• A、f（-

  1

  2

  ）=f（

  16

  3

  ）
• B、f（-

  1

  2

  ）＜f（

  16

  3

  ）
• C、f（-

  1

  2

  ）＞f（

  16

  3

  ）
• D、不確定

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：先根據(jù)函數(shù)的對數(shù)性得到函數(shù)關(guān)于y軸對稱，再求出函數(shù)f（x）為周期2的周期函數(shù)，再根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的解析式，判斷出函數(shù)餓單調(diào)性，問題得以解決．

解答： 解：若函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，
將函數(shù)f（x+1）向右平移1個單位得到f（x）的圖象，則f（x）關(guān)于直線x=0對稱，
即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∵f（x+2）-f（x）=2f（1），
∴令x=-1得，f（-1+2）-f（-x）=2f（1），
即f（1）-f（1）=2f（1），解得f（1）=0，
即f（x+2）-f（x）=0，
∴f（x+2）=f（x）
即函數(shù)f（x）的周期是2，
∵f（x）=x²+2xf′（2），
∴f′（x）=2x+2f′（2），
令x=2，f′（2）=4+2f′（2），
解得f′（2）=-4，
∴f（x）=x²-8x=（x-4）²-16，
∴f（x）在[2，4]為減函數(shù)，
∴f（x）在[0，2]為減函數(shù)，
∵f（-

1

2

）=f（2-

1

2

）=f（

3

2

），f（

16

3

）=f（

16

3

-4）=f（

4

3

），
∴f（-

1

2

）＜f（

16

3

）
故選：B

點評：本題主要考查了導數(shù)運算，根據(jù)條件求出函數(shù)的對稱性，奇偶性以及周期性是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)的應用嗎，屬于中檔題．