Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足f（1）=0，且a＞b＞c．
（1）求

c

a

的取值范圍；
（2）設(shè)該函數(shù)圖象交x軸于A、B兩點，求|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（1）=0，可得a，b，c的關(guān)系，再根據(jù)a＞b＞c，將其中的b代換成a表示，即可求得

c

a

的取值范圍；
（2）設(shè)出A、B兩點的坐標，則得到f（x）=0的兩個根，根據(jù)韋達定理，將|AB|轉(zhuǎn)化成用兩個根表示，然后轉(zhuǎn)化成用

c

a

表示，運用（1）的結(jié)論，即可求得|AB|的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=ax²+bx+c，且f（1）=0，
∴f（1）=a+b+c=0，
∴b=-（a+c），
∵a＞b＞c，
∴a＞-（a+c）＞c且a＞0，c＜0，
解得-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∴

c

a

的取值范圍為-2＜

c

a

＜-

1

2

；
（2）∵函數(shù)f（x）的圖象交x軸于A、B兩點，
∴設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁，x₂為f（x）=0，即ax²+bx+c=0的兩個根，
根據(jù)韋達定理，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，
則|AB|=|x₁-x₂|=

|x1-x2|2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2- 4c a

=

b2-4ac a2

=

(-a-c)2-4ac a2

=

(a-c)2 a2

，
∵a＞0，c＜0，
∴a-c＞0，
∴|AB|=

a-c

a

=1-

c

a

，
由（1）知，-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∴

3

2

＜1-

c

a

＜3，即

3

2

＜|AB|＜3，
∴|AB|的取值范圍為（

3

2

，3）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．同時考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，函數(shù)的零點等價于對應(yīng)方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．