Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求f（x）的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)數(shù)列{

1

n

}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n-1＜f（n）-

1-n

n

＜S_n-1（n∈N且n≥2）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f’（x），利用它是單調(diào)增函數(shù)，得含參的不等式然后利用恒成立問(wèn)題求得a的范圍．
（Ⅱ）將a的值代入得f（x）的表達(dá)式，然后用求導(dǎo)的方法判斷其單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）的最小值．
（Ⅲ）先構(gòu)造兩個(gè)不等式lnx＞1-

1

x

和x-1＞lnx，并給出證明，然后將x=1，2，…，n-1代入不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，化簡(jiǎn)即證．

解答：解：（1）∵f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)若f（x）在x∈[1，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)，
則f′(x)≥0恒成立，即a≥

1

x

恒成立．
即a≥(

1

x

) max，∵x∈[1，+∞），∴

1

x

≤1，∴a≥1
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f(x)=

2-2x

x

+lnx，f′(x)=

x-2

x2

，
由f'（x）＜0，得0＜x＜2；由f'（x）＞0，得x＞2
∴f（x）在（0，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）為增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（2）=ln2-1
（Ⅲ）當(dāng)a=1 時(shí)，由（Ⅱ）知；f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∵f(n)-

1-n

n

=

1-n

a•n

+lnn-

1-n

n

=lnn
又∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f（1），∴

1-x

x

+lnx＞0，即lnx＞1-

1

x

令g(x)=x-1-lnx，則有g(shù)′(x)=1-

1

x

，當(dāng)x∈(1，+∞)，有g(shù)′(x)＞0
從而可以知道，函數(shù)g（x）在[1，+∞）上是遞增函數(shù)，
所以有g(shù)（x）＞g（1）=0，即得x-1＞lnx．
綜上有：1-

1

x

＜lnx＜x-1，(x＞1)，
∴

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

；
令x=1，2，…，n-1，（n∈N^*，且n≥2）時(shí)，不等式

1

x+1

＜ ln

x+1

x

＜

1

x

也成立，于是代入，
將所得各不等式相加，得

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＜1+

1

2

+…+

1

n-1

，
即

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn＜1+

1

2

+…+

1

n-1

．
即∴Sn-1＜f(n)-

1-n

n

＜Sn-1(n∈N*，且n≥2)

點(diǎn)評(píng)：此題考查利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值．