Question

20．求證：ln（2³+1）+ln（3³+1）+ln（4³+1）+…+ln（n³+1）＜$\frac{1}{4}$+3lnn!（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 求得f（x）=lnx-x+1的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得f（x）的最大值，lnx≤x-1，將x換為x+1，可得ln（1+x）≤x．由n≥2，n∈N^*，則有l(wèi)n（$\frac{1}{{n}^{3}}$+1）＜$\frac{1}{{n}^{3}}$，運用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得證．

解答 證明：由f（x）=lnx-x+1的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有f（x）在x=1處取得最大值0，即f（x）≤0，即lnx≤x-1，
將x換為x+1，可得ln（1+x）≤x．
由n≥2，n∈N^*，
則有l(wèi)n（$\frac{1}{{n}^{3}}$+1）＜$\frac{1}{{n}^{3}}$，
即為ln（1+n³）-lnn³＜$\frac{1}{{n}^{3}}$，
即有l(wèi)n（1+n³）＜lnn³+$\frac{1}{{n}^{3}}$=3lnn+$\frac{1}{{n}^{3}}$，
則有l(wèi)n（2³+1）+ln（3³+1）+ln（4³+1）+…+ln（n³+1）
＜3（ln2+ln3+…+lnn）+（$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{n}^{3}}$）=3lnn!+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{n}^{3}}$，
由$\frac{1}{{n}^{3}}$≤$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，可得$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{n}^{3}}$＜$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）＜$\frac{1}{4}$．
故原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用不等式ln（1+x）≤x，對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，放縮法和等比數(shù)列的求和公式，考查推理和運算能力，屬于中檔題．