Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=3，a_n+2=（2+cosnπ）（a_n+1）-3（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{{log}_3}{a_n}}}{{{n^2}（{n+2}）}}，n=2k（{k∈{N^*}}）\\{a_n}，n=2k-1（{k∈{N^*}}）\end{array}$，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求T_2n．

Answer 1

分析 （I）討論當(dāng)n=2k-1（k∈N^*），當(dāng)n=2k（k∈N^*），化簡等式，可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項為首項為a₁=1，公差為-2的等差數(shù)列；偶數(shù)項為首項a₂=3，公比為3的等比數(shù)列．運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可得到所求數(shù)列的通項，注意運用分段形式；
（Ⅱ）化簡b_n，當(dāng)n=2k時，可得b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（I）當(dāng)n=2k-1（k∈N^*），a_2k+1=（2+cos（2k-1）π）（a_2k-1+1）-3，
即為a_2k+1=a_2k-1-2；
當(dāng)n=2k（k∈N^*），a_2k+2=（2+cos（2kπ））（a_2k+1）-3，
即為a_2k+2=3a_2k．
則數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項為首項為a₁=1，公差為-2的等差數(shù)列；
偶數(shù)項為首項a₂=3，公比為3的等比數(shù)列．
即有a_2k=a₂•3^k-1=3^k；a_2k-1=a₁+（k-1）•（-2）=3-2k，
可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n}{2}，}n=2k，k∈{N}^{*}}\\{2-n，n=2k-1，k∈{N}^{*}}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{n}^{2}（n+2）}=\frac{1}{2n（n+2）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}），n=2k，K∈{N}^{*}}\\{2-n，n=2k-1，k∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，
則T_2n=（b₁+b₃+b₅+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+b₆+…+b_2n）
=$\frac{n（_{1}+_{2n-1}）}{2}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2n+2}$）
=$\frac{n（1+3-2n）}{2}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2n+2}$）
=2n-n²+$\frac{n}{8n+8}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用分類討論思想方法，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和方法：注意運用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和裂項相消求和，屬于中檔題．