【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知P是直線上的一個動點,圓Q的方程為:設(shè)以線段PQ為直徑的圓E與圓Q交于C,D兩點.
證明:PC,PD均與圓Q相切;
當時,求點P的坐標;
求線段CD長度的最小值.
【答案】(1)見解析(2) (3)
【解析】
(1)根據(jù)題意,連接CQ、CD,分析易得PC⊥CQ,PD⊥DQ,又由C、D都在圓Q上,即可得證明;
(2)根據(jù)題意,設(shè)P(m,m+4),由直線與圓的位置關(guān)系可得|PQ|2=PC2+CQ2=63+9=72,由兩點間距離公式可得(m﹣4)2+(m+8)2=72,解可得m的值,即可得答案;
(3)根據(jù)題意,設(shè)PQ=t,求出PC的值,據(jù)此可得CD=2×=6,分析可得當t取得最小值時,CD的值最小,進而可得當PQ與直線x﹣y+4=0垂直時,PQ最小,計算即可得答案.
證明:根據(jù)題意,連接CQ、CD,
圓E是以線段PQ為直徑的圓,則,即,,
又由C、D都在圓Q上,
則PC,PD均與圓Q相切;
根據(jù)題意,設(shè),
圓Q的方程為:,圓心,半徑,
當時,,
則有,即
解可得:,
則P的坐標為;
根據(jù)題意,設(shè),則,
則,
分析可得:當t取得最小值時,CD的值最小,
當PQ與直線垂直時,PQ最小,且PQ的最小值為,
此時CD取得最小值,且其最小值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 通項公式為 .
(Ⅰ)計算f(1),f(2),f(3)的值;
(Ⅱ)比較f(n)與1的大小,并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.
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【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x﹣m|﹣1.
(1)若不等式f(x)≤2的解集為{x|﹣1≤x≤5},求實數(shù)m的值;
(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥t﹣2對一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】如圖,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC與BD相交于點O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.
(1)求證:BD⊥平面ACFE;
(2)當直線FO與平面BED所成角的大小為45°時,求AE的長度.
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【題目】已知函數(shù),其中.
Ⅰ當時,求曲線在點處的切線方程;
Ⅱ當時,若在區(qū)間上的最小值為,求a的取值范圍;
Ⅲ若,,且,恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C:(a>0,b>0)的短軸長為2 , 且離心率e= .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)F1、F2是橢圓的左、右焦點,過F2的直線與橢圓相交于P、Q兩點,求△F1PQ面積的最小值.
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【題目】已知橢圓 (a>b>0)的一個頂點為B(0,4),離心率e= ,直線l交橢圓于M,N兩點.
(1)若直線l的方程為y=x﹣4,求弦MN的長;
(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F,求直線l方程的一般式.
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【題目】(1)求經(jīng)過直線l1:x+3y-3=0,l2:x-y+1=0的交點且平行于直線2x+y-3=0的直線方程.
(2)求證:不論m取什么實數(shù),直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經(jīng)過一個定點,并求出這個定點的坐標.
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