【題目】已知動圓的圓心為點，圓過點且與被直線截得弦長為．不過原點的直線與點的軌跡交于兩點，且．

（1）求點的軌跡方程；

（2）求三角形面積的最小值．

【答案】（1）．（2）16

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)圓的相交弦長公式，即可得出關(guān)系；

（2）由（1）得，曲線方程為，根據(jù)已知可得，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，利用根與系數(shù)關(guān)系，將三角形面積表示為的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征，即可求出最小值.

（1）設(shè)，圓的半徑

圓到直線的距離

由于圓被直線截得弦長為，所以

即，化簡得，

所以點的軌跡方程為．

（2）由知（或）

解法一：設(shè)直線的方程為

由消去得

即

，

由即，即

由于，所以，

所以解得

所以直線方程為恒過定點

三角形面積

當時，

所以三角形面積的最小值為16．

解法二：設(shè)

直線的方程為，則直線的方程為

由，解得即，

所以

同理可得

三角形面積

下面提供兩種求最小值的思路：

思路1：利用基本不等式

，

當且僅當即時，

所以三角形面積的最小值為16．

思路2：用導(dǎo)數(shù)

不妨設(shè)，則，

當時，；當時，；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以當時，

所以三角形面積的最小值為16．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】從拋物線上任意一點向軸作垂線段垂足為，點是線段上的一點，且滿足.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設(shè)直線與軌跡交于兩點，點為軌跡上異于的任意一點，直線分別與直線交于兩點.問：軸正半軸上是否存在定點使得以為直徑的圓過該定點？若存在，求出符合條件的定點坐標；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，在三棱錐S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，且SA＝SB＝SC.

(1)求證：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，為上一點，且.

（1）求證：平面；

（2）若，，，求三棱錐的體積.

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【題目】如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點，分別為和的中點.

（1）若，求三棱柱的體積；

（2）證明：平面；

（3）請問當為何值時，平面，試證明你的結(jié)論.

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【題目】如圖，正四面體的各棱長均為2，、、分別為棱、、的中點，以為圓心、1為半徑，分別在面、面內(nèi)作弧，并將兩弧各分成五等份，分點順次為、、、、、以及、、、、、.一只甲蟲欲從點出發(fā)，沿四面體表面爬行至點，則其爬行的最短距離為___________。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=（n∈N*）

（Ⅰ）證明當n≥2時，數(shù)列{nan}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an；

（Ⅱ）求數(shù)列{n2an}的前n項和Tn；

（Ⅲ）對任意n∈N*，使得 恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，，證明: ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， ， .

（1）證明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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