Question

19．已知f（x）=a（x-lnx）+$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，a∈R．
（I）討論f（x）的單調(diào)性；
（II）當(dāng)a=1時(shí)，證明f（x）＞f′（x）+$\frac{3}{2}$對(duì)于任意的x∈[1，2]成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-f′（x），令g（x）=x-lnx，h（x）=$\frac{3}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$$-\frac{2}{{x}^{3}}-1$．則F（x）=f（x）-f′（x）=g（x）+h（x），利用導(dǎo)數(shù)分別求g（x）與h（x）的最小值得到F（x）＞$\frac{3}{2}$恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+$\frac{3}{2}$對(duì)于任意的x∈[1，2]成立．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=a（x-lnx）+$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
得f′（x）=a（1-$\frac{1}{x}$）+$\frac{2{x}^{2}-（2x-1）•2x}{{x}^{4}}$
=$\frac{ax-a}{x}+\frac{2-2x}{{x}^{3}}$=$\frac{a{x}^{3}-a{x}^{2}+2-2x}{{x}^{3}}=\frac{（x-1）（a{x}^{2}-2）}{{x}^{3}}$（x＞0）．
若a≤0，則ax²-2＜0恒成立，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)a＞0，若0＜a＜2，當(dāng)x∈（0，1）和（$\frac{\sqrt{2a}}{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，$\frac{\sqrt{2a}}{a}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
若a＞2，當(dāng)x∈（0，$\frac{\sqrt{2a}}{a}$）和（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（$\frac{\sqrt{2a}}{a}$，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
（Ⅱ）解：∵a=1，
令F（x）=f（x）-f′（x）=x-lnx$+\frac{2}{x}$$-\frac{1}{{x}^{2}}$-1$+\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}-\frac{2}{{x}^{3}}$=x-lnx+$\frac{3}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$$-\frac{2}{{x}^{3}}-1$．
令g（x）=x-lnx，h（x）=$\frac{3}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$$-\frac{2}{{x}^{3}}-1$．
則F（x）=f（x）-f′（x）=g（x）+h（x），
由$g′（x）=\frac{x-1}{x}≥0$，可得g（x）≥g（1）=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)；
又$h′（x）=\frac{-3{x}^{2}-2x+6}{{x}^{4}}$，
設(shè)φ（x）=-3x²-2x+6，則φ（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
且φ（1）=1，φ（2）=-10，
∴在[1，2]上存在x₀，使得x∈（1，x₀） 時(shí)φ（x₀）＞0，x∈（x₀，2）時(shí)，φ（x₀）＜0，
∴函數(shù)h（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞增；在（x₀，2）上單調(diào)遞減，
由于h（1）=1，h（2）=$\frac{1}{2}$，因此h（x）≥h（2）=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=2取等號(hào)，
∴f（x）-f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=$\frac{3}{2}$，
∴F（x）＞$\frac{3}{2}$恒成立．
即f（x）＞f′（x）+$\frac{3}{2}$對(duì)于任意的x∈[1，2]成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)加以函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．