Question

15．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AA₁，AB⊥BC，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB₁的中點(diǎn)，則直線EF和BC₁所成的角是（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 求異面直線所成的角，通過(guò)將異面直線的一條平移與另外一條相交，即可求異面直線所成的角．取AC，BC₁的中點(diǎn)，M，N，連接EM，MN，F(xiàn)M，證明EF∥MN，那么MN與直線BC₁所成的角就是EF和BC₁所成的角．

解答 解：取AC，BC₁的中點(diǎn)，M，N，連接EM，MN，F(xiàn)N，
∵點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB₁的中點(diǎn)，
∴EM${\;}_{=}^{∥}\frac{1}{2}$BC，F(xiàn)N${\;}_{=}^{∥}\frac{1}{2}$B₁C₁，
∵BC=B₁C₁
∴FN${\;}_{=}^{∥}$EM
所以：四邊形EFNM是平行四邊形．
則有：EF∥MN．
那么：MN與直線BC₁所成的∠BNM就是EF和BC₁所成的角．
設(shè)：AB=BC=AA₁=a，作BC中點(diǎn)G，連接MB，NG，GM．
BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，NM=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
△BNM是等邊三角形，∠BNM=60°，即EF和BC₁所成的角為60°．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求異面直線所成的角的證明和計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．