Question

20．已知拋物線y=x²在點A（1，1）處的切線為l．
（1）求切線l的方程；
（2）若切線l經(jīng)過橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個焦點和頂點，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，由拋物線在點A（1，1）處的切線為l的斜率k=k_切=y'|_x=1=2，由點斜式方程即可求得切線l的方程；
（2）由題意可知求得切線與x和y的軸的焦點，求得c和b的值，由橢圓的性質(zhì)可知a²=b²+c²，即可求得該橢圓的方程．

解答 解：（1）k_切=y'|_x=1=2x|_x=1=2，…（2分）
切點A（1，1），所以切線l的方程為y-1=2（x-1）
即y=2x-1…（4分）
（2）令y=0，則x=$\frac{1}{2}$，所以切線與x軸的交點為$B（\frac{1}{2}，0）$…（5分）
令x=0，則y=-1，所以切線與y軸的交點為C（0，-1）
所以$c=\frac{1}{2}，b=1$，
$a=\sqrt{{b^2}+{c^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
所求橢圓方程為$\frac{{4{x^2}}}{5}+{y^2}=1$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程及橢圓的簡單性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的運算，考查計算能力，屬于中檔題．