Question

已知二次函數g（x）對任意的x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1，設函數f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

．
（1）求g（x）的表達式；
（2）是否存在實數m∈（-∞，0），使得對任意的x∈R₊，恒有f（x）＞0，若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設g（x）=ax²+bx+c（a≠0），于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，g（1）=-1，由此能求出g（x）的表達式．
（2）f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

=

1

2

x2+mlnx（m∈R，x＞0），當m＞0時，由對數函數性質，f（x）的值域為R；當m=0時，f（x）=

x2

2

＞0對?x＞0，f（x）＞0恒成立；當m＜0時，由f′(x)=x+

m

x

=0，得x=

-m

．由此利用導數性質能求出存在實數m∈（-e，0]，使得對任意的x∈R₊，恒有f（x）＞0．

解答： 解：（1）設g（x）=ax²+bx+c（a≠0），
于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，
所以a=

1

2

，c=-1，
又g（1）=-1，則b=-

1

2

，
所以g（x）=

1

2

x2-

1

2

x-1．
（2）f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

=

1

2

x2+mlnx（m∈R，x＞0），
當m＞0時，由對數函數性質，f（x）的值域為R；
當m=0時，f（x）=

x2

2

＞0對?x＞0，f（x）＞0恒成立；
當m＜0時，由f′(x)=x+

m

x

=0，得x=

-m

，
列表如下：

x	（0， -m ）	-m	（ -m ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

這時，[f（x）]_min=f（

-m

）=-

m

2

+mln

-m

，
由[f（x）]_min＞0，得

- m 2 +mln -m ＞0 m＜0

，解得-e＜m＜0，
若?x＞0，f（x）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是（-e，0]．
所以，存在實數m∈（-e，0]，使得對任意的x∈R₊，恒有f（x）＞0．

點評：本題考查函數的表達式的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要注意導數性質的合理運用．