Question

已知a＞0且a≠1，f（log_ax）=

a

a2-1

（x-

1

x

）．
（1）求f（x）；
（2）討論f（x）的單調(diào)性和奇偶性；
（3）若f（x）定義域?yàn)椋?1，1），解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法，即可求f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義即可證明f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求m的取值范圍．

解答： 解：（1）令t=log_ax（t∈R）
則x=at，f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)，
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)（x∈R），
（2）∵x∈R，f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2 -1

(ax-a-x)=-f(x)，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．    
設(shè)x₁＜x₂，
若a＞1，f（x₂）-f（x₁）=

a

a2-1

[ax2-a-x2-ax1+a-x1]=

a

a2-1

[（ax2-ax1）（1+

1

ax1ax2

）]，
∵a＞1，x₁＜x₂，∴ax1＜ax2，ax2-ax1＞0，ax1ax2＞0，

a

a2-1

＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
類似可證明當(dāng)0＜a＜1時，f（x₂）＞f（x₁），
綜上，無論a＞1或0＜a＜1，f（x）在R上都是增函數(shù)． 
（3）不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0化為f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）
即f（1-m）＜f（m²-1），
∵f（x）定義域?yàn)椋?1，1），且函數(shù)為增函數(shù)，
∴

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

，
即

0＜m＜2 0＜m2＜2 m2+m-2＞0

，
則

0＜m＜2 - 2 ＜m＜0或0＜m＜ 2 m＞1或m＜-2

，
解得1＜m＜

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷以及不等式恒成立的證明，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．