Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求證：平面A₁BD∥平面CD₁B₁．
（2）求異面直線A₁D與D₁C所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）通過(guò)平移先作出異面直線所成的角，進(jìn)而求出即可；
（2）利用線面、面面平行的判定定理即可證明．

解答： （1）證明：∵幾何體是正方體，∴CD∥A₁B₁并且CD=A₁B₁
∴A₁D∥B₁C，而A₁D?平面B₁CD₁，B₁C?平面B₁CD₁，
∴A₁D∥平面B₁CD₁，
同理可得A₁B∥平面CB₁D₁，
又∵A₁D∩A₁B=A₁，
∴平面A₁BD∥平面CB₁D₁．
解：（2）由（1）可知對(duì)角面A₁B₁CD是一個(gè)平行四邊形，
∴B₁C∥A₁D．
∴∠B₁CD₁或其補(bǔ)角即為異面直線A₁D與 D₁C所成的角，
∵△B₁CD₁是一個(gè)等邊三角形，
∴∠B₁CD₁=60°即為異面直線A₁D與 D₁C所成的角；

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理、異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角是解題的關(guān)鍵．