Question

9．已知3tanα=2tan（α+β），求證：5sinβ=sin（2α+β）

Answer 1

分析 由條件利用利用兩角和差的正弦公式化簡 $\frac{sin（2α+β）}{sinβ}$ 為5，從而證得要證的結(jié)論．

解答 解：∵3tanα=2tan（α+β），∴tanα=$\frac{2}{3}$tan（α+β），
∴$\frac{sin（2α+β）}{sinβ}$=$\frac{sin[（α+β）+α]}{sin[（α+β）-α]}$=$\frac{sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα}{sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα}$=$\frac{tan（α+β）+tanα}{tan（α+β）-tanα}$=$\frac{\frac{5}{3}•tan（α+β）}{\frac{1}{3}•tan（α+β）}$=5，
∴sin（2α+β）=5sinβ，即 5sinβ=sin（2α+β）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．