在棱長為2的正方形ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1B1，CD的中點(diǎn)．
（1）求直線EC與平面A1ADD1所成角的正弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．
考點(diǎn)：直線與平面所成的角,二面角的平面角及求法
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）由已知得∠ECB1為直線EC與平面A1ADD1所成角，由此能求出直線EC與平面A1ADD1成角的正弦值．
（2）過E作平面ABC的垂線，垂足為E′，E′∈AB，過E′作AF的垂線，設(shè)垂足為G，∠EGE′即為二面角E-AF-B的平面角．由此能求出二面角E-AF-B的余弦值．
解答： 解：（1）∵平面A1ADD1∥平面B1BCC1，
∴直線EC與平面A1ADD1所成角，即為直線EC與平面B1BCC1所成角．
∵EB1⊥平面B1BCC1，即B1C為EC在平面B1BCC1內(nèi)的射影，
故∠ECB1為直線EC與平面B1BCC1所成角，
在Rt△EB1C中，EB1=1，B1C=2
2
，
∴tan∠ECB1=
EB1
B1C
=
1
2
2
=
2
4
．
∴sin∠ECB1=
1
3
，
∴直線EC與平面A1ADD1成角的正弦值為
1
3
．…（6分）
（2）過E作平面ABC的垂線，垂足為E′，E′∈AB，
過E′作AF的垂線，設(shè)垂足為G，∠EGE′即為二面角E-AF-B的平面角．
由題意得△ADF∽△AGE，
∴
G′E
AE′
=
AD
AF
，∴
GE′
1
=
2
5
，即GE′=
2
5
，
在Rt△EE′Q中，tan∠EGE′=
EE′
GE′
=
5
，
∴二面角E-AF-B的余弦值為
6
6
．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x-2|+|x+3|的最小值為m．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）當(dāng)a+2b+c=m時(shí)，求a2+2b2+3c2的最小值．

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（Ⅱ）△ABC三邊a，b，c上的中線分別為ma，mb，mc，求證：abmc+bcma+camb≥a2ma+b2mb+c2mc．

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某研究性學(xué)習(xí)小組對3月至7月連續(xù)100天晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究，每天浸泡100顆種子的發(fā)芽情況統(tǒng)計(jì)如下表（1）：
          表1
分組（單位：個(gè)）頻數(shù)頻率
[10，15）50.050
[15，20）200.200
[20，25）①0.350
[25，30）30②
[30，35）100.100
合計(jì)1001.00
（Ⅰ）頻率分布表中的①，②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并補(bǔ)全頻率分布直方圖，作出頻率分布折線圖；根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)100天里種子發(fā)芽的平均值；（8分）
（Ⅱ）下面是3月1日至5日每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)的詳細(xì)記錄：
      表2
日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月2日
溫差（℃）101113128
發(fā)芽數(shù)（顆）2325302616
（i）請根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（ii）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（i）中所得的線性回歸方程是否可靠？（6分）
（參考公式：
?
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
，
a
=
.
y
-
b
.
x
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x-lnx，g（x）=ex-x．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使不等式
2x-m
g(x)
＞x成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)x＞0時(shí)，證明：|lnx-ex|＞2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=log4（x2-4x+3）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣A=
2b
13
屬于特征值λ的一個(gè)特征向量為α=
1
-1
．
（1）求實(shí)數(shù)b，λ的值；
（2）若曲線C在矩陣A對應(yīng)的變換作用下，得到的曲線為C′：x2+2y2=2，求曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-x+2alnx
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）0＜a＜
1
8
時(shí)，判斷方程：f（x）=（a+1）x根的個(gè)數(shù)并說明理由；
（3）f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2且x1＜x2，證明：f（x2）＞
-3-2ln2
8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

A，B，C是三個(gè)集合，那么“A=B”是“A∩C=B∩C”成立的
 
條件．

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