Question

已知f（x）=x-lnx，g（x）=e^x-x．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使不等式

2x-m

g(x)

＞x成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）當x＞0時，證明：|lnx-e^x|＞2．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=1-

1

x

，且f（x）的定義域為（0，+∞），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）有最小值．
（Ⅱ）由已知得2x-m＞xg（x），g（x）=e^x-x＞0，2x-m＞xe^x-x²，m＜x²+2x-xe^x，令h（x）=x²+2x-xe^x，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出m的取值范圍．
（Ⅲ）|lnx-e^x|=e^x-lnx=f（x）+g（x），當x＞0時，g′（x）=e^x-1＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明|lnx-e^x|＞2．

解答： （Ⅰ）解：∵f′(x)=1-

1

x

，且f（x）的定義域為（0，+∞），…（1分）
∴由f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，得x＞1，
由f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，…（3分）
∴當x=1時，f（x）有最小值f（1）=1．…（4分）
（Ⅱ）解：∵

2x-m

g(x)

＞x，∴2x-m＞xg（x），g（x）=e^x-x＞0，
∴2x-m＞xe^x-x²，∴m＜x²+2x-xe^x，…（5分）
令h（x）=x²+2x-xe^x，x＞0，
則h′（x）=2x+2-e^x-xe^x=x（2-e^x）+（2-e^x）=-（x+1）（e^x-2），
∴當x＞ln2時，h′（x）0，
∴h（x）_max=h（ln2）=ln²2，…（7分）
要想存在正數(shù)x，使m＜h（x），則有m＜h（x）_max=ln²2．
∴所求的m的取值范圍是m＜ln²2．…（8分）
（Ⅲ）證明：|lnx-e^x|=e^x-lnx=f（x）+g（x），…（10分）
當x＞0時，g′（x）=e^x-1＞0，因此g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴g（x）＞g（0），…（11分）
由（Ⅰ）知，f（x）≥1，
∴f（x）+g（x）＞1+1=2，
即|lnx-e^x|＞2．…（12分）

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用