Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn),且離心率

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓與不同的兩點(diǎn),且滿足 (其中為坐標(biāo)原點(diǎn))。若存在,求出直線的方程；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在直線或滿足題意.

【解析】

(1)根據(jù)已知得到關(guān)于a,b,c的方程組，解方程組即得解.(2)對(duì)直線l的斜率分類討論，直線的斜率必存在,不妨設(shè)為，設(shè)直線的方程為,即，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到,得到，把韋達(dá)定理代入向量的數(shù)量積，得到k的值.即得直線的方程.

（1）∵橢圓過(guò)點(diǎn),且離心率

,解得,

∴橢圓的方程為

（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn),且滿足

若直線的斜率不存在,且直線過(guò)點(diǎn),則直線即為軸所在直線

∴直線與橢圓的兩不同交點(diǎn)就是橢圓短軸的端點(diǎn),

∴直線的斜率必存在,不妨設(shè)為,

∴可設(shè)直線的方程為,即

聯(lián)立,消得,

∵直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),

得: 或①

設(shè),

又,

化簡(jiǎn)得,

或,經(jīng)檢驗(yàn)均滿足①式，

∴直線的方程為: 或，

∴存在直線或滿足題意.