Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=，g（x）=xlnx．

（Ⅰ）若函數(shù)g（x）的圖象在（1，0）處的切線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，求實數(shù)k的值；

（Ⅱ）當k=0時，證明：f（x）+g（x）＞0；

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導函數(shù)的幾何意義求得函數(shù)g（x）的圖象在（1，0）處的切線l的方程，將其方程與函數(shù)f（x）的解析式聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，由條件可知此方程有一個解，判別式等于0，可求得實數(shù)k的值；（Ⅱ）證法一：當k=0時，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）= ，求導判斷函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，進而得其最小值，判斷最小值大于0即可。證法二：對于函數(shù)g（x）=xlnx，求導判斷其單調(diào)性，可求其最小值，當k=0時， ，配方可求其最小值。進而可得f（x）+g（x）＞

，可證明要證不等式。

（Ⅰ）g（x）的導數(shù)g′（x）=1+lnx，斜率為g′（1）=1，切點為（1，0），則直線l：y=x﹣1，

聯(lián)立y=x2+（k﹣1）x﹣k+，可得x2+2（k﹣2）x﹣2k+5=0，

由l與f（x）的圖象相切，可得△=4（k﹣2）2﹣4（5﹣2k）=0，解得k=1±；

（Ⅱ）證法一：當k=0時，F（x）=f（x）+g（x）=xlnx+x2﹣x+，

F′（x）=lnx+x，x＞0，顯然F′（x）在（0，+∞）遞增，

設F′（x0）=0，即lnx0+x0=0，易得x0∈（0，1），

當x∈（0，x0），F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，當x∈（x0，+∞），F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．

F（x）的最小值為F（x0），且為x0lnx0++x02﹣x0+=x0（﹣x0+x0﹣1）+

=﹣x02﹣x0+=﹣（x0+3）（x0﹣1），由x0∈（0，1），F(xiàn)（x0）＞0，

故F（x）＞0恒成立，即f（x）+g（x）＞0恒成立；

證法二：g′（x）=1+lnx，x∈（0，），g′（x）＜0，g（x）遞減，

x∈（，+∞），g′（x）＞0，g（x）遞增，則g（x）在x=處取得最小值﹣，即g（x）≥，

又k=0時，f（x）=x2﹣x+=（x﹣1）2+1≥1，則f（x）+g（x）＞1﹣＞0恒成立；